Mittwoch, 26. Juni 2013

Fallen bei der Termumformung

Hallo liebe Leser!

Heute soll es um ein (eigentlich) eher einfaches Thema gehen, bei dem einige Schüler immer wieder Probleme haben:

die Termumformung.

Anstatt hier alle Gesetze, welche man anwenden könnte aufzulisten, möchte ich auf ein par Fallen eingehen, die hier und da für Verwirrung sorgen. Auf geht's! Im Folgenden sei $x,y \in \mathbb{R}$.  

Beispiel 1:

 \[ x^2 = x \]

Hier sollte man nicht durch $x$ teilen, da wir $x=0$ nicht ausgeschlossen haben. Besser $-x$ rechnen:

\[ x^2 = x \Leftrightarrow x^2-x=0 \Leftrightarrow x(x-1)=0  \]

Also ist die Lösung $0$ oder $1$.

Beispiel 2:

Das Ausklammern wird in der Regel unterschätzt und/oder vergessen, dabei macht es Vieles einfacher:

\[ x^4-x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x^2-1) = 0 \]

Es muss nun $x^2=0$ oder $(x^2-1)=0$ gelten, damit die Gleichung stimmt.
Daher sind die Lösungen: $x=0$ oder $x=1$

Beispiel 3:

Brüche sind bei den meisten Schülern unbeliebt, warum eigentlich? ;)

\[ \frac{x^4-x^2}{x^2-1} = 0\]

Jetzt bitte nicht auf die Idee kommen $x^2$ kürzen zu wollen!
Auch wenn es etwas fies klingt, stimmt der alte Spruch "In Summen kürzen nur die Dummen".
Den Zähler des Bruches kennen wir bereits aus dem Beispiel 2.

\[ \frac{x^2(x^2-1)}{x^2-1}=0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x=0 \]

Man beachte, dass im Zähler nun ein Produkt steht, weshalb wir mit $x^2-1$ kürzen können.

Beispiel 4:

Potenzregeln sind eine feine Sache.

\[ \frac{(x^3x^4x^5)^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow \frac{(x^{3+4+5})^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow \frac{(x^{12})^{\frac{1}{6}}}{x^4}=4 \Leftrightarrow
\frac{x^6}{x^4}=4 \Leftrightarrow
x^{6-4}=4 \Leftrightarrow
x^2=4 \Leftrightarrow x=2 \]

Erläuterung:
Im ersten Schritt gehen wir getreu nach dem Motto vor:
"Potenzen multiplizieren, heißt Exponenten addieren", natürlich nur wenn alle die gleiche Basis haben. Danach haben wir im Zähler $x^{12}$ hoch $\frac{1}{6}$ stehen. Wir potenzieren also eine Potenz, d.h. wir multiplizieren die Exponenten. Dann heißt es kürzen und das Ergebnis steht schon da.

Beispiel 5:

 Etwas Ähnliches wie kürzen in Summen begegnet uns bei Wurzeln.
Während $\sqrt{x^2y^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{y^2}=xy$ ist gilt dies nicht mehr, wenn unter der Wurzel eine Summe steht. Daher versucht man irgendwie ein Produkt unter die Wurzel zu bekommen:
\[ \sqrt{x^4-x^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2(x^2-1)} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}=0 \Leftrightarrow x\sqrt{x^2-1}=0 \]

Was ist jetzt die Lösung? $x=1$, weil für $x=1$ steht dort $1\cdot \sqrt{0} = 0$.
Aber was ist mit $x=0$ ? Das ist keine Lösung, weil die Gleichung für $x=0$ nicht definiert ist: $x=0 \Rightarrow 0\cdot \sqrt{0-1}$. Wurzeln aus negativen Zahlen sind (i.d.R.) in der Schule verboten.


So long,

quis

Donnerstag, 13. Juni 2013

Multidimensionales Zeichnen

"Ein Mathematiker und ein Ingenieur sitzen in einem Mathematik Vortrag. Es geht um 15, 20 und 47 dimensionale Räume und der Ingenieur scheint sichtlich Probleme damit zu haben, das Ganze nachzuvollziehen. Der Mathematiker neben ihm, genießt den Vortrag entspannt. Also fragt ihn der Ingenieur: "Wie stellen Sie sich denn bitte einen 20-dimensionalen Raum vor?". Der Mathematiker antwortet: "Ganz einfach! Ich stelle mir einen $n$-dimensionalen Raum vor und betrachte dann den Spezialfall $n$=20."

Aber wie soll denn so etwas gehen? Wie soll man sich so etwas vorstellen? Ich kann hier natürlich keinen 47-dimensionalen Raum zeigen(also schon, aber das würde 99% der Leser wohl nicht weiterbringen). Ich möchte aber einen konstruktiven Prozess vorstellen, mit dem ich dem Ein oder Anderen schon einen "Aha!"-Effekt verschaffen konnte, im Bezug auf das Konzept der Dimensionen und multidimensionalen-Objekten. Durch einfaches Zeichnen!

Auf geht's!

Stellt euch vor Ihr seid ein 0-dimensionales Objekt:

Nicht sonderlich spannend oder? Als Punkt kann man halt nicht viel tun.
Jetzt nehmen wir zwei mal unser 0-dimensionales Objekt und verbinden diese.

Eine Linie! Das ist unser 1-dimensionales Objekt (nur Breite, keine Höhe). Immerhin können wir uns nun auf der Linie von links nach rechts bewegen.

Wenn wir zwei mal unsere Linie nehmen, dann bekommen wir ein 2-dimensionales Rechteck:

Bisher nicht schwer oder? Jetzt haben wir eine neue Dimension und können nach links, rechts, oben und unten laufen. Innerhalb des Rechtecks natürlich. Das System zieht sich so durch, aus zwei Rechtecken machen wir einen Quader, jetz mit drei Dimensionen:
Noch mehr Bewegungsfreiheit! Wir können als Punkt wild im Quader herumwuseln.
Jetzt wird es tricky. Wir machen in der selben Art und Weise aus zwei Quadern ein 4-dimensionales Objekt. Man beachte hierbei, dass die Zeichenfläche ab zwei Dimensionen eigentlich ausgereizt ist und das Ergebnis deswegen auf den ersten Blick vielleicht etwas verwirrend aussieht. 

Die beiden Quader auf der linken Seite des Bildes haben keine direkte Verbindung. Man kann also nicht aus dem blauen Quader in den roten Quader laufen. Auf der rechten Seite geht dies aber! Wir können zum Beispiel entlang der schwarzen Linien in der vierten Dimension laufen:
Wir "verlassen" also die dritte Dimension im blauen Quader, reisen entlang der vierten Dimension und "tauchen" im roten Quader wieder in die dritte Dimension ein. Dieses Reisen kann man überall innerhalb dieses Objektes machen. Man taucht einfach irgendwo in die vierte Dimension ein, bewegt sich da und taucht irgendwo Anders wieder auf. Wenn man unseren normalen Raum, der uns umgibt, betrachtet, mit den normalen Raumdimensionen wie Höhe, Breite, Tiefe und annimmt die vierte hinzugefügte Dimension wäre auch eine Raumdimension in dieser Art, dann nennt sich das Ganze Teleportation. Wenn man als vierte Dimension die Zeit nimmt, dann machen wir Zeitreisen ;)

Zum Abschluss eine Dimension mehr:
Ich hoffe euch hat dieses kleine Gedankenexperiment Spaß gemacht.

Grüße

Ableitungsregeln Teil 1

Heute nähern wir uns einem essentiellen Thema für alle Schüler an:

Dem Berechnen von Ableitungen.

In diesem ersten Teil, soll es um die einfachsten Regeln gehen. Ich möchte Beispiele geben, weshalb ich auf eine großartige Einführung und Motivation mit geschichtlichem Abriss usw. verzichte, und mehr den "Anwendungsaspekt" in den Vordergrund rücke. Soll heißen, kurze Erklärung, dafür Beispiele. Ich gehe davon aus, dass die Ableitungen von essentiellen Funktionen bekannt sind. Falls hier Bedarf besteht, insbesondere mit Herleitungen, einfach in die Kommentare posten.

Auf geht's!
Im folgenden seien $f$ und $g$ [differenzierbare] Funktionen auf den reellen Zahlen.

Die Summenregel

Die Summenregel ist wohl die einfachste aller Ableitungsregeln:
\[ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) \]
Man leitet die Summanden einfach einzeln ab.

Beispiele:
$(x^2+3x^3)'=2x+9x^2$
$(sin(x)+cos(x))'=cos(x)-sin(x)$
$(e^x+\sqrt{x})'=e^x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$(x^n+ln(x))'=nx^{n-1}+\frac{1}{x}$
$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})'=\frac{-1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$

Das Ganze ist sehr einfach, die Schwierigkeit hier besteht eher im Bestimmen der einzelnen Ableitungen selbst, als dem Anwenden der Regel. Viele Schüler haben Probleme mit dem Ableitungen von Funktionen der Art: $\frac{1}{x^n}$. Tipp: Erinnert euch an die Potenzregeln:
\[(\frac{1}{x^n})'=(x^{-n})'=(-n)x^{-n-1}\]

Die Produktregel

Die Produktregel sieht schon etwas komplexer aus:
\[(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]
Sie sieht aber auch nur komplexer aus, man leitet einfach pro Summand eine der Funktionen ab und lässt die Andere stehen.

Beispiele:
$(x^2\cdot 3x^3)'=2x\cdot3x^3+x^2\cdot 9x^2=6x^4+9x^4=15x^4$
$(sin(x)\cdot cos(x))'=-sin(x)sin(x)+cos(x)cos(x)=cos^2(x)-sin^2(x)$
$(e^x\cdot \sqrt{x})'=e^x\cdot \sqrt{x}+\frac{e^x}{2\sqrt{x}}$
$(x^n\cdot ln(x))'=nx^{n-1}\cdot ln(x)+\frac{1}{x}\cdot x^n=nx^{n-1}\cdot ln(x)+x^{n-1}$
$(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2})'=(\frac{1}{x^3})'=\frac{-3}{x^4}$

So das war's erstmal für Teil 1. In der Fortsetzung gibt es dann weitere Regeln. Ich empfehle die Beispiele in Ruhe durch zulesen und dann ohne auf die Lösung zu gucken, nachzurechnen.

Viel Erfolg!

Grüße

Mittwoch, 12. Juni 2013

Unendlich ist keine Zahl!

Aufgrund einer langen Diskussion mit meinem Nachhilfeschüler zum Thema:

Warum ist denn $\infty + \infty$ nicht $2\infty$ bzw. warum ist $\infty - \infty$ nicht $0$ ?

Möchte ich dazu ein Beispiel geben.

Zuerst enthalten die "normalen" Zahlenmengen wie $\mathbb{R}$ $\infty$ nicht. D.h. $\infty$ ist keine Zahl wie z.B. $2$. Daher kann man auch nicht einfach $\infty - \infty$ rechnen.

Natürlich könnte man mit dem Symbol $\infty$ definieren, was es heißen soll damit $+$ oder $-$ zu rechnen. In $\mathbb{R}$ wird man dabei auf Probleme stoßen:

$+$ und$-$ ist in den reellen Zahlen eindeutig definiert, das heißt $10-2=8$ und nur $8$, es kann keine andere Zahl als Ergebnis heraus kommen.

Nehmen wir also kurz an, dass $\infty$ irgendwie in die Menge der reellen Zahlen gerutscht ist. Also müssten wir damit auch wie gewohnt rechnen können!

Betrachten wir nun:
\[ a=lim_{x\rightarrow \infty}x^2=\infty \text{  und   } b=lim_{x\rightarrow \infty}x=\infty \]

Wenn wir jetzt $a-b$ rechnen steht dort Folgendes:
\[ a-b=\infty-\infty \]
Das sollte aufjedenfall $0$ sein. Wenn wir uns aber erinnern, was $a$ und $b$ sind, sehen wir, dass das nicht stimmt:
\[ a-b=lim_{x\rightarrow \infty}x^2-lim_{x\rightarrow \infty}x=lim_{x\rightarrow \infty}x^2-x=lim_{x\rightarrow \infty}x=\infty \]

Wir sehen also, wenn wir das Symbol $\infty$ als reelle Zahl auffassen funktioniert unser $-$ Zeichen nicht mehr. Das ist schlecht!

In diesem Sinne.

Grüße

Wozu Mathematik?

Eine der am meisten gestellten Fragen in der Schule ist:

Wozu brauche ich das alles?

Aus der Serie "Person of Interest" gibt es dazu eine sehr interessante Stelle.

Auch, wenn das nicht die Antwort ist, welche allen Schülern Heißhunger auf Mathematik verschafft, lohnt es sich das Video mal anzuklicken.

Zumindest kann man darüber mal nachdenken ;)

Grüße


einfache Kurvendiskussion

In meinem ersten Post soll es um ein Standardthema gehen, mit welchem viele Schüler Probleme haben:

Die Kurvendiskussion.

Also legen wir los.

Aufgabe:
Es sei $f(x)=7x^3+2x^2+2$. Machen Sie eine vollständige Kurvendiskussion.

Lösung:

Zur Kurvendiskussion zählen folgende Punkte(je nach Stand, auch weniger):


  • Definitions- und Wertebereich
  • Symmetrie (zum Koordinatenursprung)
  • Extrem- und Wendestellen
  • Verhalten im Unendlichen



Definitions- und Wertebereich

Der Definitionsbereich ist die Menge an reellen Zahlen, die wir in die Funktion (sinnvoll) einsetzen können.
In unserem Fall können wir alle reellen Zahlen einsetzen, und es kommt immer etwas Sinnvolles raus, d.h. eine reelle Zahl. Also ist der Definitionsbereich ganz $\mathbb{R}$.

Anderes Beispiel: In die Funktion $g(x)=\frac{1}{x}$, kann z.B. die $0$ nicht eingesetzt werden, da man sonst durch diese teilen würde. In dem Fall wäre der Definitionbereich $\mathbb{R}-\{0\}$, d.h. alle reellen Zahlen ohne die Null.

Der Wertebereich der Funktion sind alle Zahlen, die die auswirft (auch $y$-Werte genannt). In unserem Fall wieder ganz $\mathbb{R}$.

Symmetrie

Es gibt hier zwei Arten von Symmetrie: die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie.

Achsensymmetrie
Für das Vorliegen von Achsensymmetrie muss folgende Bedingung erfüllt sein:
\[ f(-x)=f(x) \]
Testen wir also, was bei unserer Funktion passiert, wenn wir $-x$ einsetzen!
\[f(-x)=7(-x)^3+2(-x)^2+2=-7x^3+2x^2+2\neq f(x)\]
Sodaß wir hier keine Achsensymmetrie vorliegen haben.

Punktsymmetrie
Auch für das Vorliegen von Punktsymmetrie gibt es eine Bedingung:
\[f(-x)=-f(x)\]
$f(-x)$ haben wir weiter oben schon ausgerechnet, jetzt müssen wir nur wissen was $-f(x)$ ist:
\[-f(x)=-(7x^3+2x^2+2)=-7x^3-2x^2-2\neq f(-x) \]
Also haben wir auch keine Punktsymmetrie.

Extrem- und Wendestellen

Damit eine Extremstelle an $x$ vorliegt müssen folgende Bedingen erfüllt sein:
\[ f'(x)=0 \text{ und } f''(x)\neq 0 \]
Die so gefundene Extremstelle heißt Maximum, falls $f''(x)<0$ und Minimum, falls $f''(x)>0$.

An $x$ liegt eine Wendestelle vor, wenn gilt:
\[ f''(x)=0 \text{ und } f'''(x)\neq 0 \]

Auf geht's! Berechnen wir zuerst die Ableitungen:
\[ f'(x)=21x^2+4x \text{ ; } f''(x)=42x+4 \text{ ; } f'''(x)=42 \]
Für die Extremstellen brauchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung:
\[ 21x^2+4x=0 \Leftrightarrow x^2+\frac{4}{21}=0 \]
Mit der p-q-Formel erhalten wir: $x_{1/2}=-\frac{4}{2\cdot 21}\pm \sqrt{( -\frac{4}{2\cdot 21})^2}=-\frac{2}{21}\pm \frac{2}{21}$
D.h. wir haben Nullstellen bei $x_1 = 0$ und $x_2 = -\frac{4}{21}$. Nun setzen wir unsere gefundenen Nullstellen in die zweite Ableitung ein.
$f''(0)=42\cdot 0 +4= 4 > 0 \Rightarrow \text{ Minimum an }x_1=0$
$f''(-\frac{4}{21})= 42\cdot (-\frac{4}{21})+4=-8 < 0 \Rightarrow \text{ Maximum an }x_2=-\frac{4}{21}$

Zu beachten ist, dass die hier ausgerechneten Extremstellen lokale Extremstellen sind! Ob diese auch globale Extremstellen sind, d.h. die Funktion $f$ diese Werte im gesamten Wertebereich nicht über[unter]steigt, sehen wir im Abschnitt über das Verhalten der Funktion im Unendlichen.

Die Berechnung von Wendestellen folgt dem gleichen Schema: zuerst die Nullstellen der zweiten Ableitung ausrechnen.
\[ 42x+4=0 \Leftrightarrow 42x=-4 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{21} \]
Und dann in die dritte Ableitung einsetzen.
\[ f'''(-\frac{2}{21})=42 \Rightarrow \text{ Wendestelle an } x= -\frac{2}{21} \]

Verhalten im Unendlichen

Überlegen wir uns nun, was mit $f(x)$ passiert wenn wir $x$ sehr groß oder sehr klein werden lassen.

$x \rightarrow \infty $:
Die Frage ist, was mit den einzelnen Bestandteilen von $f(x)$ passiert:
$x\rightarrow \infty \Rightarrow 7x^3 \rightarrow \infty$
$x\rightarrow \infty \Rightarrow 2x^2 \rightarrow \infty$
$x\rightarrow \infty \Rightarrow 2 \rightarrow 2$
Woraus folgt, dass $f(x)\rightarrow \infty$, weil wir nur immer größer werdende Komponenten aufaddieren.

Analog:
$x \rightarrow -\infty $:
$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 7x^3 \rightarrow -\infty$
$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 2x^2 \rightarrow \infty$
$x\rightarrow -\infty \Rightarrow 2 \rightarrow 2$
Das ist komisch! Wenn wir die $2$ mal ignorieren(bei sehr großen/kleinen Zahlen ändert $+ 2$ nicht viel),
dann betrachten wir also $7x^3+2x^2 = x^2\cdot (7x+2)$. Für kleine Zahlen wird die Klammer immer negativ sein (insbesondere $x\rightarrow -\infty \Rightarrow 7x+2 \rightarrow -\infty$). Das $x^2$ vor der Klammer wird immer größer für  $x\rightarrow -\infty$. Der Gesamtterm, geht also gegen $-\infty$. Warum? Erinnert euch an die alte Regel: Minus mal Plus gibt Minus ;)

Insbesondere folgt aus der Betrachtung, des Verhaltens der Funktion im Unendlichen, dass die oben ermittelten Extremstellen keine globalen Extremstellen sind.

Danke

Danke für's Lesen! Über Kommentare würde ich mich freuen!

Grüße