Mittwoch, 12. Juni 2013

Unendlich ist keine Zahl!

Aufgrund einer langen Diskussion mit meinem Nachhilfeschüler zum Thema:

Warum ist denn $\infty + \infty$ nicht $2\infty$ bzw. warum ist $\infty - \infty$ nicht $0$ ?

Möchte ich dazu ein Beispiel geben.

Zuerst enthalten die "normalen" Zahlenmengen wie $\mathbb{R}$ $\infty$ nicht. D.h. $\infty$ ist keine Zahl wie z.B. $2$. Daher kann man auch nicht einfach $\infty - \infty$ rechnen.

Natürlich könnte man mit dem Symbol $\infty$ definieren, was es heißen soll damit $+$ oder $-$ zu rechnen. In $\mathbb{R}$ wird man dabei auf Probleme stoßen:

$+$ und$-$ ist in den reellen Zahlen eindeutig definiert, das heißt $10-2=8$ und nur $8$, es kann keine andere Zahl als Ergebnis heraus kommen.

Nehmen wir also kurz an, dass $\infty$ irgendwie in die Menge der reellen Zahlen gerutscht ist. Also müssten wir damit auch wie gewohnt rechnen können!

Betrachten wir nun:
\[ a=lim_{x\rightarrow \infty}x^2=\infty \text{  und   } b=lim_{x\rightarrow \infty}x=\infty \]

Wenn wir jetzt $a-b$ rechnen steht dort Folgendes:
\[ a-b=\infty-\infty \]
Das sollte aufjedenfall $0$ sein. Wenn wir uns aber erinnern, was $a$ und $b$ sind, sehen wir, dass das nicht stimmt:
\[ a-b=lim_{x\rightarrow \infty}x^2-lim_{x\rightarrow \infty}x=lim_{x\rightarrow \infty}x^2-x=lim_{x\rightarrow \infty}x=\infty \]

Wir sehen also, wenn wir das Symbol $\infty$ als reelle Zahl auffassen funktioniert unser $-$ Zeichen nicht mehr. Das ist schlecht!

In diesem Sinne.

Grüße

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